J’aime les représentations des nombres qui rendent la structure visible. Le ternaire équilibré, où chaque entier est un unique mot sur les chiffres -, 0, +, est ma préférée, et l’essentiel de mon travail mathématique depuis 2019 en découle. Ce travail porte aujourd’hui sur deux problèmes ouverts, l’application Juggler et les applications de Collatz signées, travaillés dans un seul laboratoire, rédigés en six prépublications et dessinés sur un site compagnon.

🤹 Deux problèmes ouverts

L’application Juggler (A094683) envoie n sur ⌊√n⌋ si n est pair et sur ⌊n√n⌋ si n est impair. Savoir si toute orbite atteint 1 est une question ouverte, comme pour Collatz : une orbite pourrait aussi tomber dans un autre cycle ou croître sans limite, et les articles ci-dessous ne tranchent pas.

L’application 3n−1 envoie y sur y/2 si y est pair et sur (3y−1)/2 si y est impair ; c’est l’application 3n+1 raccourcie, lue sur les entiers négatifs. Ses cycles connus sont 1, (5, 7, 10) et le cycle à onze éléments issu de 17, et tout point de départ inférieur à 2^51 atteint l’un d’eux. Avec 3n+1, elle forme les applications de Collatz signées.

📄 Publications

Mes publications sont recensées sur ORCID : 0009-0004-1939-3382. Les six prépublications, de septembre et octobre 2026, sont sur Zenodo sous licence CC BY 4.0 ; chaque lien est le DOI de concept, qui ouvre toujours la dernière version.

  • A. Lower Bounds for Cycle Lengths in the Juggler Map - Tout cycle de Juggler autre que le cycle trivial aurait au moins 780 239 pas.
    En détailUne inégalité de financement des cycles, n log n (3^o − 2^L) ≤ L·3^o pour un cycle de minimum n, de longueur L à o pas impairs, raffinée par une rotation irrationnelle, des estimations de Denjoy–Koksma et des décompositions d'Ostrowski. Avec le plancher de descente vérifié de 350 000 000, tout cycle non trivial aurait au moins 780 239 pas.
  • B. Five-Step Descent Certificates for the Juggler Map: Parity Statistics of Nested Floor Powers - Sept valeurs de départ sur huit portent un certificat de descente de l’orbite en cinq pas.
    En détailLes valeurs de départ qui admettent un certificat de descente par enveloppe de puissances en cinq opérations ont pour densité naturelle 7/8 (13/16 en quatre), par des identités de retenue exactes, des développements de Fourier centrés et la différenciation de van der Corput. Son théorème 6.3, un résultat de juste part pour les deux mots de cinq lettres, a une preuve écrite assistée par IA qui n'a pas encore été relue de façon indépendante.
  • C. Fate Contagion and Termination Criteria for the Juggler Map - Aucun destin de l’application Juggler ne peut être rare : tout bassin de cycle, et l’ensemble des orbites qui s’échappent s’il en existe, a une masse logarithmique divergente.
    En détailTout ensemble non vide clos par préimages, donc tout bassin de cycle et l'ensemble des orbites non bornées s'il en existe, vérifie ∑ 1/n ≥ c (log x)^(37/50) sur ses éléments jusqu'à x, pour tout x assez grand. L'exposant 37/50 utilise le théorème 6.3 de l'article B ; sans lui, l'exposant est 5/8, et ce résultat est vérifié en Lean de bout en bout.
  • D. No m-cycles of the 3n−1 map for m ≤ 61 - L’application 3n−1 n’a aucun nouveau cycle comptant 61 suites de pas impairs ou moins.
    En détailLe schéma de Simons–de Weger pour les m-cycles de 3n+1, transposé à l'application 3n−1 avec ses constantes dérivées de ce côté-ci et combiné à la borne de Rhin sur les formes linéaires de logarithmes : aucun m-cycle avec 1 ≤ m ≤ 61 en dehors des deux connus. Pour 3 ≤ m ≤ 61, aucun énoncé antérieur n'est connu ; pour m ≤ 2, c'est une forme, dépendant du plancher, d'un théorème de Simons.
  • E. The Juggler Map and the 3n±1 Maps: Exact Coding and Arithmetic Obstructions - L’application Juggler et les applications 3n±1 partagent exactement leurs mots de parité, mais cette correspondance ne transporte pas gratuitement les résultats de l’une à l’autre.
    En détailLe codage par parité envoie exactement toute orbite de Juggler dans le système 2-adique de 3n−1 et, sur les orbites périodiques, conserve chaque temps de retour ; sa valeur est un entier exactement quand une divisibilité de mots est vérifiée, et un retour modulaire aussi précis qu'on veut n'impose pas cette divisibilité. Sur les entiers positifs, toute cible de 3n−1 première avec trois a au moins X^(21/25) ancêtres inférieurs à X, pour tout X assez grand. Des formalisations Lean accompagnent les résultats principaux.
  • F. Beatty First-Passage Counts: Limit Laws, Fractal Geometry, and Arithmetic Rigidity - Les comptes de mots binaires qui passent pour la première fois sous une droite de pente α suivent une loi limite explicite, portée aux pentes irrationnelles par un ensemble fractal de dimension 2/3.
    En détailPour une pente α > 1, on compte les mots binaires de longueur ⌊αr⌋ + 1 dont la proportion courante de uns reste au moins égale à 1/α sur tout préfixe propre et passe en dessous à la dernière lettre. Pour tout α, les comptes normalisés convergent vers une loi limite explicite ; aux pentes irrationnelles, ils suivent la phase de Beatty {rα}, ce qui prouve une hypothèse de Bauer, Godrèche et Luck, et la loi est singulière continue sur un ensemble parfait de mesure nulle. Cet ensemble est de dimension de Minkowski 2/3 pour toute pente irrationnelle, tandis que sa dimension de Hausdorff est gouvernée par l'approximation diophantienne et prend toutes les valeurs de [0, 2/3]. Les principaux théorèmes de limite et de géométrie sont formalisés en Lean 4 ; l'article est né d'un taux de bord de l'article B.
  • Visualizing quantum mechanics in an interactive simulation: Virtual Lab by Quantum Flytrap, Optical Engineering 61(8), 081808 (2022), avec P. Migdał, K. Jankiewicz, P. Grabarz et C. Decaroli. La physique est sur la page Quantique.

Rien de tout cela ne prétend résoudre les problèmes de Juggler ou de Collatz.

🎨 Juggler companion

La page d'accueil du Juggler companion : la trajectoire de 173 tracée en échelle logarithmique, qui monte jusqu'à un pic proche de 10^82 avant de retomber à 1, à côté des deux règles de l'application

Le Juggler companion est le versant visuel des articles : des images qu’on peut parcourir, conçues pour les prépublications sur Juggler. Le site s’ouvre sur les trois destins possibles d’une orbite, avec une visite guidée des images en quatorze chapitres, un bac à sable qui parcourt n’importe quel point de départ et ses préimages et explore désormais le profil de Beatty de l’article F, et What the paper claims, un tableau en langage clair qui met chaque énoncé de l’article A en regard de sa preuve. Les PDF restent les preuves.

🧪 frontier-lab

frontier-lab, anciennement btlab, le laboratoire de ternaire équilibré, est le laboratoire de recherche mathématique où ces articles sont fabriqués. Il suit chaque question de l’exploration jusqu’à une preuve ou un contre-exemple, et consigne ce qui a échoué à côté de ce qui a marché. Le dépôt est privé ; les sources de chaque article et un supplément Lean autonome sont déposés avec lui sur Zenodo.

  • Articles : les sources des six prépublications, reconstruites par un seul outil et épinglées aux données qu’elles rapportent, avec leurs PDF et leurs dossiers de publication.
  • Lean 4 : une bibliothèque sur Mathlib, sans aucun sorry, auditée pour ses axiomes. Son outil de recherche, Formalpedia, retrouve un résultat par nom, par énoncé ou par affirmation liée.
  • Degrés de preuve : un registre des théorèmes étiquette chaque affirmation comme preuve écrite, preuve Lean, calcul fini, conjecture, observation, réfutation ou reparamétrage. Les résultats conditionnels gardent leurs hypothèses ouvertes, et une vérification finie ne prouve que son domaine annoncé.
  • Calcul : des expériences Python exactes avec leur provenance consignée, des bornes numériques certifiées avec FLINT/Arb, et un vérificateur CUDA qui calcule les planchers de vérification finis sur le GPU.
  • Mémoire : un dossier par investigation, et un registre des connaissances négatives qui dit pourquoi une piste a échoué et ce qui permettrait de la rouvrir. Le ternaire équilibré et l’arithmétique exacte en restent le socle commun.

🧭 Frontier Forge

Frontier Forge est un monde coopératif de stratégie de recherche, et un projet distinct du laboratoire. Sa carte représente la compréhension mathématique : un contributeur ouvre une invitation, choisit une mission bornée et la confie à son propre agent de codage, et ce que l’agent rapporte est relu avant de modifier la carte ou de valoir le moindre crédit. En dessous, un noyau Rust sur PostgreSQL consigne la provenance, les tentatives, les travaux échoués et des reçus de vérification signés. C’est un pilote sur invitation, dans un dépôt privé ; le premier raid reproduit un résultat borné de certificats Juggler issu du laboratoire, qui garde ses propres énoncés et preuves.

🔢 Suites de l’OEIS

En janvier 2019, j’ai contribué trois suites à l’OEIS, les « warp primes » : des nombres premiers dont la représentation en ternaire équilibré, lue à l’envers, est encore un nombre premier ou l’opposé d’un nombre premier.

  • A323782 - les premiers dont le renversement est un premier ou l’opposé d’un premier
  • A323783 - les valeurs renversées correspondantes, a(n) = A134028(A323782(n))
  • A323784 - les premiers dont le renversement est un nombre composé
  • Le code Python, les b-files jusqu’à 10^6 et une spirale d’Ulam en D3 des deux familles de premiers : WarpPrimes

🧮 Jouets plus anciens

  • padic-rust et padic-ts - des bibliothèques de nombres p-adiques en Rust et en TypeScript
  • Euler et DNA - mes archives Project Euler et Rosalind